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Matemática - Derivada de uma Função no Ponto - Coeficiente Angular da Reta Tangente a Curva

15/09/2011 - Douglas disse...

Professor Reginaldo, não consegui resolver este problema de limites e derivadas que envolve o conceito de reta tangente a uma curva. Vocês podem me ajudar.
Determinar a equação da reta tangente a curva, nos pontos indicados e esboçar o gráfico.



17/09/2011 - D.A.X  RESOLVE

Douglas, boa tarde. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A.X, vou ajudá-lo em sua dúvida que trata de limite de uma função, derivadas e coeficiente angular da reta tangente.

O primeiro passo é entendermos o conceito de reta tangente a uma curva. Seja C uma curva, como na figura, e P um ponto de C. Seja Q um outro ponto de C próximo de P e consideremos a reta secante PQ.


Lembremos que o coeficiente angular de uma reta é representado pela tangente do ângulo entre ele e o eixo das abscissas, temos:


Devemos perceber que (x0) e (x0 + h) são abscissas dos pontos P e Q que pertencem a função f e a reta C. Também, podemos notar que f(x0) e f(x0 + h) são as ordenadas dos mesmos pontos.

Se fizermos Q aproximar-se de P na posição limite, a reta obtida é por definição a reta tangente ao gráfico de f no ponto P de abscissa x0. E o seu coeficiente angular é:


No gráfico temos:


Quando o limite do coeficiente angular da reta tangente é um número real ele é a derivada da função f no ponto de abscissa x = x0.

Temos, então, a notação que representa a derivada por definição:











O segundo passo é aplicar os conceitos no problema inicial. Vamos encontrar o coeficiente angular da reta tangente no ponto de abscissa x = 1, tem-se:


Lembremos que o coeficiente angular da reta tangente a função em um ponto é a derivada da função no ponto, então, podemos utilizar um outro cálculo para resolver este passo, temos:


O terceiro passo é encontrar a ordenada do ponto de abscissa 1 da função f, temos:


Sabemos, então, que o ponto de tangencia é P(1, 0) e que o coeficiente angular da reta tangente é 2.

O quarto passo é encontrar a equação da reta tangente, utilizamos para isso a formulação da equação da reta, temos:


Encontramos, dessa maneira, equação da reta tangente a curva no ponto P(1, 0).

O quinto passo é construirmos o gráfico, temos:


O sexto passo é repetir os procedimentos para x = 0, temos:



O sétimo passo é repetir os procedimentos para x = a, temos:



Douglas, espero tê-lo ajudado em sua dúvida, qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.

VEJA TAMBÉM:
MATEMÁTICA - DERIVADAS DE FUNÇÕES - TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO
MATEMÁTICA - DERIVADAS DE FUNÇÕES - OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS

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