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Matemática - Princípios de Contagem - Arranjo simples I

26/02/2011 - Abraão Rodrigues Oliveira disse...

Os cinco primeiros colocados de uma corrida, que não teve empates, devem ser enfileirados, de modo que nenhum deles fique intercalado exatamente entre dois que chegaram antes dele. Quantos são os enfileiramentos possíveis?

08/03/2011 - D.A. RESOLVE

Abraão, boa noite. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-lo em sua dúvida que trata de princípios de contagem.

O primeiro passo é saber que o 5º colocado não pode de modo algum ficar nas posições interiores da fileira, logo ele deve ficar no início ou no final de cada fileira. Só assim não ficará entre dois que chegaram antes dele.

O segundo passo é saber que o 4º colocado deve sempre ficar ao lado do 5º ou, então, quando o 5º for o primeiro da fileira o 4º será o último e quando o 5º for o último o 4º será o primeiro da fileira. Deste modo o 4º colocado nunca ficará entre dois que chegaram a sua frente.

O terceiro passo é esquematizar a situação descrita, tem-se:


É fácil notar que cada uma das situações possuem três casas vazias onde serão distribuídos o 1º, o 2º e o 3º colocados. Trata-se de um arranjo de 3 elementos em 3 posições, tem-se:


Desta forma, cada uma das situações podem ser construídas de 6 maneiras diferentes como são 4 situações existiriam 6 x 4 = 24 formações diferentes.

O quarto passo é identificar o problema do 3º colocado não poder ficar entre o 1º e o 2º. Assim sendo, sempre que ocorrer 1º, 3º e 2º ou 2º, 3º e 1º não são enfileiramentos válidos. Então, cada uma das 4 situações proposta conta com um de cada desses enfileiramentos. Logo, as 6 maneiras diferentes de enfileirar em cada uma das situações se reduz a apenas 6 - 2 = 4 maneiras válidas. Tem-se:


Nota-se, então, que é possível enfileirar os 5 primeiros colocados de 16 maneiras diferentes, sem que um dos colocados fique entre outros dois que chegaram primeiro que ele.

Abraão, espero tê-lo ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.

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