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Matemática - Volume de Sólidos Geométricos - Esfera

01/11/2010 - Rosália disse...

Quantas bolinhas é possível caber dentro de um carro?

Dados:
As bolas medem 7,6 cm de diâmetro cada uma.
Carro: 
Comprimento 3,818 m, entre-eixos 2,472 m, largura 1,940 m, altura 1,417 m, porta-malas 255 litros.
As bolas ocupam todo o interior do carro, porta-malas, área de passageiros e porta-objetos integrados, exceto porta-luvas e área do motor.

22/11/2010 - D.A. RESOLVE


Rosália, boa tarde. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-la em sua dúvida que trata de volumes de sólidos geométricos.


O primeiro passo é esquematizar a situação do problema, vê-se:




O segundo passo é calcular o volume total do carro incluindo o porta-malas, o habitáculo pode ser considerado um paralelepípedo reto retângulo e o porta-malas tem por volume 255 litros que devem ser passados para . Tem-se:




O terceiro passo é calcular o volume da esfera, vê-se:




O quarto passo é encontrar quantas bolinhas cabem no carro, tem-se:




Fácil não é. Entretanto esse número de bolinhas não condiz com a realidade, as esferas não se agrupam, perfeitamente, então, é necessário uma nova linha de raciocínio. 


O quinto passo é verificar como são os agrupamentos de esferas. Tem-se:




O sexto passo é considerar todo o volume do carro como se fosse um grande cubo e verificar, aproximadamente, quantas bolinhas cabem nele se agrupadas no modo 1. Tem-se:




Quantas bolinhas, uma ao lado da outra cabem em cada aresta do cubo? Vê-se:




Desta forma, se agruparmos as bolinhas do modo 1 cabem aproximadamente 15.625 bolinas.


No agrupamento 2 vê-se uma altura para duas camadas de bolinhas menor que a altura para duas camadas do agrupamento 1. Para calcular esta altura é necessário esquematizar a situação e este é o sétimo passo. Tem-se:




O oitavo passo é calcular a altura da pirâmide que somada aos dois raios resulta na altura de duas camadas de bolinhas, vê-se:




Agora, sabe-se a altura da pirâmide e calcula-se a altura das duas camadas de bolinhas, vê-se:




O nono passo é calcular o número de pares de camadas que cabem na aresta que representa a altura do cubo tomado como referência, tem-se:




Quinze camadas duplas, uma de 25 x 25 bolinhas e outra de 24 x 24 bolinhas. A camada superior da camada dupla tem uma bolinha a menos na largura e no comprimento, logo, tem-se:




Cabem no carro, agrupando as bolinhas do modo 2, aproximadamente, 18.015 bolinhas.


Rosália, espero tê-la ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.


VEJA TAMBÉM:
Matemática - Volume do Cubo - Regra de Três Simples
Matemática - Volume de Sólidos - Paralelepípedo

28 comentários:

  1. Quantas Bolinhas podem caber dentro de um carro:
    Comprimento.3,996
    Entre eixos. 2,543
    Largura 1,939
    Altura 1,474
    Porta malas 327 litros

    e Bolinhas tem 7.0 cm de diametro cada uma.??

    Quantas bolinhas cabem neste carro?? Me ajudam??

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  2. Bom dia, quero saber como eu faço para achar o comprimento do carro onde vai ser efetuadas as bolinhas só tenho o comprimento real.

    Ana
    aclopes26@yahoo.com.br

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  3. Mas a duvida que fica é como calcular o volume interno do carro sendo irregular e tendo que descontar os obstaculos como bancos, cambio, inclinação do para-brisa, volante etc.

    Obrigado.

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  4. Faça as conta espertinho, você quer ganhar o carro agile do savegnago na moleza

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  5. A você, ANÔNIMO, QUE, ÀS 23H50 DO DIA 19/12/2011, COLOCOU O NÚMERO DE BOLINHAS QUE CABEM NO CARRO ÁGILE:

    a) SAIBA QUE SUA IDEIA DE PUBLICAR UM RESULTADO EM NOSSO "WEBSITE", SEM NOSSA AUTORIZAÇÃO E SEM O CONHECIMENTO DA PROMOTORA DO CONCURSO, FOI EXTREMAMENTE ANTIÉTICA E DESCABIDA;

    b) não precisamos dessa espécie de "colaboração", por sinal imprópria e sem sentido;

    c) de uma próxima vez, antes de ter ideias sem brilhantismo como esta e se quiser colocar-se como salvador da pátria em praia alheia, consulte os proprietários da praia para ver se VOCÊ poderá usufruir da areia desta praia, primeiro, antes de invadi-la sem aprovação;

    d) Anônimo disse... 19 de dezembro de 2011 23:50; eis o que sobrou de sua mensagem, apenas. SEU RESULTADO SUMIU E VAI SUMIR, OUTRAS VEZES QUE OS PUBLICAR;

    e) esperamos que não haja mais nenhum anônimo inconveniente e invasor, COMO ESTE, em nosso "website".

    PROFESSORES COORDENADORES

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    Respostas
    1. oi por favor preciso que me ajudem eu consegui os res resultados usando a formula mais qual das tres é a mais certa e como faço para tirar o volume dos bancos painel e por bolinhas ou eu uso o primeiro resutado por favor me ajudem to quase la. obrigado.

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  6. me ajudou bastante.obrigagdo

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  7. Oi bom dia eu não entendi o que fiz de errado no sexto passo pq a raiz cúbica não deu 1,975, deu 1,917. Oq posso estar fazendo de errado?
    E na último passo aquele 25x25 bolinhas surgiu de conta?
    Muito obrigado pela atenção. adorei blog tem um dicas maravilhosas

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  8. Me explica o último passo, por gentileza?

    Quinze camadas representam 30 bolinhas na direção vertical. Percebe-se que são 15 camadas de 26 x 26 e 15 camadas 25 x 25, logo, tem-se:

    Como chegou aos 26 x 26 e 25 x 25?

    Obrigado.

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  9. Prezados seguidores,

    houve, realmente um engano na resolução, mas já foi corrigido e espero que tenham entendido o último passo, agora, com os novos detalhes.

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  10. Mas e o volume dos bancos, não faz diferença para saber o número exato de bolinhas??

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  11. Gostaria de saber , no passo onde se calcula a altura das duas camadas de bolinhas , de onde surgiu o valor 1,414 , estou resolvendo um exercício similar com valores diferentes e não compreendi essa parte . Muito obrigado aguardo respostaa

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    Respostas
    1. o valor 1.414 é raiz quadrada de 2

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  12. não consegui resolver o sexto passo pois encontrei dificuldade, por favor me ajude.

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  13. se as bolinhas estivessem agrupadas uma do lado da outra caberia 42,290 mas nao vai ai vc pega e acha o outro numero

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  14. Prezado Anônimo,

    os bancos, o painel e outros artefatos interfere sim no número exato de bolinhas. Cabe a você descobrir o volume desses itens e descontar no volume final do habitáculo.

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  15. Prezado Anônimo,

    1,414 é o valor da raiz quadrada de dois, encontrada nesse passo onde você teve dúvida.

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  16. Prezado Anônimo,

    os últimos passos da resolução foram refeitos e os comentários foram mudados, você pode ver na própria resolução. Quanto a credibilidade, nós respondemos a dúvidas de associados que se cadastraram e você ainda não o fez. Nós não sabemos qual é, realmente, sua dúvida. Seja claro ao postar sua dúvida.

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  17. Agora sim, você conseguiu responder a minha dúvida. Os novos detalhes estão na própria resolução que foi alterada.
    Obrigado pela atenção.
    Agora já refiz meus cálculos e cheguei ao número exato de bolinhas do carro do savegnago mas nem adiante pedir porque não vou publicar o resultado. O concurso é cultural e coma ajuda do DAX-Desafio Alfa, só não calcula quem tiver preguiça.
    Boa sorte a todos os concorrentes.
    A credibilidade do site está mantida no meu conceito.
    Obrigado DAX - Desafio Alfa.

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  18. Boa noite !! queria que vcs me ajudasse com a formula dessa promoção cultural Quantas Bolinhas podem caber dentro de um carro:
    Comprimento.3,996
    Entre eixos. 2,543
    Largura 1,939
    Altura 1,474
    Porta malas 327 litros

    e Bolinhas tem 7.0 cm de diametro cada uma.??

    Quantas bolinhas cabem neste carro?? Me ajudam?eu acho que estou usando a formula errada preciso só de um empurãozinho rss.. obrigado . meu nome giselly ,e-mail gcastroeu@hotmail.com

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  19. alguem pode me ajudar?????????????depois do quinto passo nao consigo mais resolver.... como chegou no resultado a= 1.917 m

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  20. Senhores, uma boa tarde!

    Parabéns pelo belo passo a passo, ao destrinchar este problema não tão óbvio, mas gostaria de acrescentar uns detalhes ao já explanado:
    Ao final do passo 8, chegou-se ao cálculo da altura de uma camada dupla, mas a regra de três simples (usada no início do passo 9) só faria sentido se cada camada dupla superior não "afundasse" sobre os vales da camada imediatamente inferior: no cálculo dos senhores, é como se a cada camada dupla colocada no referido cubo, puséssemos uma base PLANA sobre ela para, então, acondicionar a próxima camada dupla.
    Como não é isso o que se deseja, imagino que se precisará de uma abordagem um pouco mais profunda...

    Em tempo:
    Embora não completamente provado (e dificilmente encontrar-se-á um número BEM melhor que o referido), uma outra abordagem seria usar a Conjectura de Kepler, que, para nossas necessidades práticas/cotidianas, é um valor para lá de razoável: estipula-se que a melhor densidade possível, em arranjos como o do problema em epígrafe, é de 0,74048 (aproximadamente). Assim, um belo atalho seria:

    Passo 8 - Calcular o volume total ocupado pelas esferas, empilhadas em uma situação ótima, com base na conjectura de Kepler:
    Vo (Volume Ótimo) = Vc x 0,74048 = 7,05m3 x 0,74048 = 5,22m3
    Passo 9 - Sabendo-se do volume útil que as esferas ocupam, em um arranjo ótimo, divido Vo pelo volume de uma única esfera, Ve:
    Qte (Quantidade total de esferas) = Vo / Ve = 5,22m3 / 0,0002298m3 = 22715 (esferas).

    Note-se que este valor é, realmente, inferior ao número máximo de esferas calculado no passo 2, 30679 (onde não sobraria - se possível assim fosse - espaço entre elas), e superior ao calculado no passo 6 - 15625 - cujo arranjo é bem mais básico.

    Muito embora este "teorema" tenha se apresentado perfeito para arranjos clássicos (como o nosso), carece de confirmação científica/matemática a afirmação de que isso é verdade para "todo e qualquer arranjo de esferas idênticas dentro de todo e qualquer formato de receptáculo".
    Abraços!

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  21. Estive acompanhando o passo a passo sem muita dificuldade, mas não sei da onde saiu o 25 . 25 bolinhas por camada no passo 8! Pode esmiuçar seu pensamento, por favor?

    Grata

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  22. me ajudem a fazer o calculo da quantidade de bolinhas do agile savegnago

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  23. Por favor me explique o terceiro passo ate r=0,035 e depois?

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  24. Prezado Anônimo,

    no 3º passo depois de descobrir o valor do raio (r) substituem-se esse valor e o valor de "pi" na fórmula do volume da esfera e calcula-se.

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  25. Calculo furado... o total de bolinhas no agile sorteado pelo savegnago foi de 6136 bolinhas.

    Nossa amigo considerou o empilhamento das bolinhas, volume de porta-mala, etc, mas não levou em conta outras variáreis:
    1) carro não é um caixote como a apresentado na desenho por ele.
    2) não levou em conta que dentro de um carro, há bancos, painel, etc.


    Para aqueles que acreditam que eu considerei tudo isso, erraram... confiei nos calculos de nosso amigo.

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  26. Caro Anônimo,

    os cálculos apresentados nesta postagem não se referem ao agile da Savegnago e em nenhum lugar da resolução isso foi dito. Se você não percebeu, procure reler toda a resolução.

    Em alguns dos comentários foi mencionado que o volume dos bancos, painel, etc influenciam sim no resultado final e não é nosso objetivo calculá-los e fornecer a resposta final do concurso para ninguém.

    Nosso objetivo verdadeiro é orientar como proceder na interpretação e resolução de situações problemas que utilizam a Matemática como método.

    Não foi honesto de sua parte querer ganhar um concurso cultural colando resultados.

    Esperamos que você aprenda com o seu erro e procure se dedicar mais a seus estudos.

    Professores Coordenadores

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