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Matemática - Perímetro - Triângulo Retângulo Circunscrito

16/11/2010 - José Elias A. Buchabqui disse...

Bom dia. Já sou formado em engenharia e estou com dificuldades para ajudar um amigo meu que vai fazer o concurso para o Colégio Tiradentes. A questão é a seguinte

Um círculo de raio igual a 2 cm está inscrito num triângulo retângulo cuja hipotenusa vale 8 cm. Determinar o perímetro do triângulo retângulo.

19/11/2010 - D.A. RESOLVE

José, boa tarde. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., Vou ajudá-lo em sua dúvida que trata de perímetro de triângulo, relações entre triângulo e circunferência, Teorema de Pitágoras e equação do 2º grau.

A primeira observação é quanto ao raio da circunferência. É impossível inscrever uma circunferência de raio 2 cm em um triângulo retângulo de hipotenusa 8 cm, se este conjunto geométrico estiver no espaço tridimensional.

Percebe-se que houve um engano na elaboração da dúvida o certo seria diâmetro de 2 cm.

Tomando como referência o diâmetro de 2 cm. Sabe-se que o diâmetro é duas vezes o raio, então:



O primeiro passo é esquematizar a linha de ação a ser tomada para o cálculo do perímetro desse triângulo ABC, vê-se:


Na figura esquematizada acima, r = 1 cm, é o raio da circunferência inscrita no triângulo ABC, BC = 8 cm, é a hipotenusa do triângulo. Os segmentos de reta que partem do ponto de tangência, de cada lado do triângulo, e vão até o centro O da circunferência tem a medida do raio da mesma. Percebe-se, facilmente, a identidade dos triângulos formados pelos vértices B e C o centro O e os pontos de tangência  dos lados BC e AB. Como os triângulos são idênticos os lados tem medidas iguais x e y

O segundo passo é tomar o triângulo retângulo ABC e utilizar o Teorema de Pitágoras para o cálculo de x e y. Tem-se:


O terceiro passo é resolver o sistema de equações, tem-se:


O quarto passo é resolver a equação do 2º grau, tem-se:


Sabe-se, agora, o valor de y. Calcula-se, então o valor de x e o perímetro do triângulo no último passo dessa  dúvida. Tem-se:



O perímetro do triângulo ABC é 18 cm.

José, espero tê-lo ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos mande-nos em forma de outra dúvida.

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4 comentários:

  1. Preciso de ajuda na seguinte questão.Desde já obrigada. Ana Paula. anapaula.esteio@yahoo.com.br

    O próximo termo da progressão aritmética (7-x, 10+5x, 8x+19,...)é:

    ResponderExcluir
  2. Bom dia.Preciso de ajuda na seguinte questão:
    A razão para inserir 7 meios aritméticos entre 3 e 99 é:

    Ana Paula
    anapaula.esteio@yahoo.com.br

    ResponderExcluir

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