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Matemática - Números Primos - Divisibilidade por 35

08/08/2010 - Yvan disse...

Mostre que que todo número da forma:
é divisível por 35.

02/10/2010 - D.A. RESOLVE

Yvan, bom dia. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-lo em sua dúvida que trata operações com números primos e divisibilidade por 35.

O entendimento desta diferença de potências, cujas bases são números primos (3, 2), ser divisível por 35, o que indica um valor divisível por 5 e 7 ao mesmo tempo, é algo bastante complexo. O primeiro passo é fatorar esta diferença de potências em fatores que possam ser melhor analisados. Tem-se:



O segundo passo é analisar os valores numéricos de cada fator para n igual aos 10 algarismos do sistema numérico decimal. Tem-se:


O terceiro passo é interpretar a periodicidade dos valores numéricos dos fatores apresentados, é fácil perceber que os dois primeiros fatores geram sempre um produto múltiplo de 5. Assim como os dois últimos fatores geram sempre um produto múltiplo de 7. Quando isso não acontece, vê-se uma coincidência interessante. Quando n é múltiplo de 3 os dois primeiros fatores geram um produto múltiplo de 5 e 7 o que representa um resultado divisível por 35. O que garante a divisibilidade por 35 para qualquer valor de n é a periodicidade dos fatores, o produto dos dois primeiros é sempre divisível por 5 e o produto dos dois últimos é sempre divisível por 7 e para n múltiplo de 3 o produto dos dois primeiros é sempre divisível por 35. Isto acontece indefinidamente até n tendendo ao infinito.

Yvan, espero tê-lo ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.

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