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Matemática - Identidade Trigonométrica - Equações trigonométricas

06/08/2010 - Letícia disse...

Tenho dúvida nestes exercícios de trigonometria.

a) Demonstre a identidade:

b) Determine os valores de m pertencente ao conjunto dos Números Reais, para os quais a equação

admite solução.

14/08/2010 - D.A. RESOLVE

Letícia, boa tarde. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-la em sua dúvida que trata de identidades trigonométricas e equações trigonométricas.

Item a)

Desenvolve-se o primeiro termo da identidade até chagar ao resultado do segundo termo, tem-se:



Prova-se, então a identidade.

Item b)

O primeiro passo é simplificar os termos da equação utilizando identidades trigonométricas e produtos notáveis, tem-se:


O segundo passo é determinar os possíveis valores para o sen 2x que, também serão os valores para o 1° termo da equação, tem-se:


O terceiro passo é resolver o sistema de inequações encontrado. Para isto utiliza-se do estudo dos sinais de f(m). Tem-se:



O quarto passo é estudar os sinais de f(m) na primeira inequação. Utiliza-se para isto o gráfico da equação (I).


Percebem-se que os valores de f(m) são sempre negativos para quaisquer que sejam os valores m reais. Tem-se:


O quinto passo é analisar a inequação 2, tem-se:


O sexto passo é estudar os sinais de f(m) na segunda inequação. Utiliza-se para isto o gráfico da equação (II). Tem-se:


Percebem-se que os valores de f(m) são positivos, somente, quando os valores de m estão entre -2 e 2. Então:


O último passo é fazer a intersecção dos resultados para se obter os valores de m que satisfazem o sistema de inequações encontrado no início dos cálculos. Tem-se:


Chega-se ao resultado final, para que a equação admita solução real  m deve estar entre   -2 e 2.

Letícia, espero tê-la ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.

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Um comentário:

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