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Matemática - Probabilidade - Princípios de Contagem

09/07/2010 - Mayara disse...
 
Escolhendo-se ao acaso um dentre todos os anagramas da palavra MASCOTE, a probabilidade de que seja um que não comece nem termine por vogal é de :
 
a)1/7      b)2/7      c)3/7      d)3/14
 
Muito obrigada, Mayara Tavares
 
10/07/2010 - D.A. RESOLVE

Mayara, bom dia. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-la em sua dúvida que trata de probabilidade e princípios de contagem.
 
Primeiramente, é preciso saber quantos anagramas tem a palavra MASCOTE. Para isso, utiliza-se um dos princípios de contagem denominado permutação. Como a palavra mascote não tem letras repitidas é empregado a permutação simples. A permutação é um tipo específico de arranjo. Conceitua-se:

Arranjo Simples

Dado um conjunto C, de n elementos, chama-se arranjo simples de C elementos a cada p-upla ordenada constituídas de p elementos distintos p a p, tomados de C. A esses arranjos chamam-se, também, arranjos dos n elementos de C tomados p a p; p, às vezes, é chamado de classe do arranjo. ( observa-se que a ordem dos elementos produz subconjuntos diferentes, a ordem importa).

Seja, por exemplo, o conjunto C = {c1,c2,c3} (com c1,c2,c3 distintos dois a dois). Com o auxílio de um diagrama de árvore, vêem-se quais são todos os  arranjos simples de 3 elementos de C, tomados 2 a 2;


Percebe-se, facilmente, que a primeira coluna de valores é composta por todos os elementos, a segunda coluna é composta, somente, por dois dos elementos, pois um deles já foi utilizado na coluna anterior. A indicação deste arranjo é A3,2 arranjo de três elementos tomados 2 a 2.

Um método prático de se chegar ao resultado final é tomar a classe do arranjo, neste caso 2, e utilizar duas colunas com as quantidades de elementos possíveis em cada uma delas e realizar o produto.

3 X 2 = 6
São seis as possibilidades de arranjos neste caso.
 
O número de todos os arranjos dos n elementos de um conjunto, tomados p a p, costuma ser indicado por An,p.

Verifica-se no diagrama de árvore que, para construir todos os arranjos de n elementos tomados p a p, tem-se n possibilidades para a escolha do 1º elemento das p-uplas; para cada uma destas tem-se (n-1) possibilidades para o 2º elemento, e assim por diante, até que para o elemento tem-se (n-1+p) possibilidades.

Assim, tem-se o número total de arranjos de n elementos tomados p a p:


Explica-se, ainda, o significado do símbolo matemático (!) chamado de fatorial através do seguinte exemplo:
 
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

Permutação Simples

Uma permutação dos n elementos de um conjunto C é um arranjo simples constituído de todos os n elementos de C, e somente deles.

O número total de permutações dos elementos de um conjunto com n elementos é designado por Pn.

Da definição conclui-se que:
 

Agora, já se sabe o conceito de permutação. Calcula-se, através dele, quantos anagramas possui a palavra MASCOTE?
 
 
O espaço amostral são todos os anagramas possíveis, também, denominado universo de possibilidades. Desta forma, U = 5040.

Agora é preciso calcular o número de anagramas que começam e terminam por vogal. Para isso se utiliza o princípio fundamental da contagem. São 7 posições para se colocar as letras, para se calcular os anagramas que começam por vogal, entende-se que na 1ª posição só caibam vogais que são 3. Na 2ª posição caberiam 7 letras porem uma já ficou na 1ª posição e assim sucessivamente. Calcula-se:
 

São 2160 anagramas que começam com vogais. O cálculo é o mesmo para se verificar os anagramas que terminam com vogal, desta forma, o resultado é o mesmo, 2160 anagramas que terminam com vogal. Agora, entre estes anagramas existem os que terminam e començam com vogal e é preciso saber, quantos são? Para isso, utiliza-se, novamente, o príncipio fundamental da contagem. Na 1ª e na 7ª posições colocam-se vogais; é preciso saber que a vogal colocada na 1ª posição não poderá ser posta na 7ª. Tem-se:
 
 
É fácil preceber que se foram determinadas as letras da 1ª e 7ª posições sobram 5 letras para serem distribuídas nas 5 posições centrais. Assim sendo, são 720 anagramas que terminam e começam com vogais. Analisa-se por meio de um diagrama de Venn-Euler a situação até aqui encontrada.
 
 
Sabe-se, então, que são 3600 os anagramas que terminam e começam com vogal. Para se calcular a probabilidade de se sortear um anagrama que termina ou começa com vogal, basta dividir o sucesso (começar e terminar com vogal) pelo universo todos os anagramas. Tem-se:
 
 
Sabe-se, agora, a probabilidade de se sortear um anagrama que termina ou começa por vogal é de 5/7. A probabilidade complementar é o que falta para completar o todo que é 1. Tem-se:
 
 
A negativa de uma probabilidade é conhecida como probabilidade complementar, logo a probabilidade do anagrama sorteado não iniciar por vogal nem terminar por vogal é 2/7.
 
Mayara, espero tê-la ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.

VEJA TAMBÉM:
Matemática - Probabilidade e 

4 comentários:

  1. Por favor, me ajudem nesta questão...

    Escolhendo-se ao acaso um dentre todos os anagramas da palavra MASCOTE, a probabilidade de que seja um que não comece nem termine por vogal é de :
    a)1/7
    b)2/7
    c)3/7
    d)3/14

    Muito obrigada
    Mayara Tavares
    mayaratll@hotmail.com

    ResponderExcluir
  2. Prof. quantos anagramas tem a palavra FERNÃO que começam e terminam por vogal ? Obrigada.

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  3. Muito bom como foi feita a resolução do problema! Meus parabéns.

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  4. Em uma loja, trabalham 8 funcionárias, dentre as quais
    Diana e Sandra. O gerente da loja precisa escolher duas
    funcionárias para trabalharem no próximo feriado. Sandra
    e Diana trabalharam no último feriado e, por isso, não podem
    ser escolhidas.
    Sendo assim, de quantos modos distintos esse gerente
    poderá fazer a escolha?

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