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Matemática - Área - Círculo Inscrito em Triângulo

06/07/2010 - Anderson Amorim disse...
 
Bom dia, meu nome é Anderson, estou com muitas dificuldades nesta questão:

Um triângulo equilátero, de lado 6 cm, com um círculo inscrito dentro deste triângulo, calcular a área que está fora deste circulo?

09/07/2010 - D.A. RESOLVE
Bom dia, Anderson. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-lo em sua dúvida que trata das propriedades de um círculo inscrito em um triângulo equilátero.
 
Quando se tem um triângulo com um círculo inscrito a primeira propriedade a se saber é que o encontro das bissetrizes do triângulo é o centro do círculo denominado INCENTRO. 
 
Sabe-se que a bissetriz é o segmento de reta que divide um ângulo ao meio. 
 
Quando o triângulo é equilátero ( todos os lados iguais ) suas cevianas coincidem. A bissetriz, a altura, a mediana, a mediatriz são as mesmas. O que, realmente, vai ser útil neste caso é a coincidência da bissetriz ser a altura. Desta forma, o INCENTRO é, também, o ORTOCENTRO do triângulo encontro das alturas.
 
A característica importante do ORTOCENTRO é que ele divide as alturas em segmentos correspondentes a 2/3 dessa altura partindo do vértice do triângulo até o ORTOCENTRO e 1/3 dessa altura do ORTOCENTRO até o ponto médio do lado do triângulo. Esse segmento de reta com medida de 1/3 da altura é o raio do círculo. Tem-se:
 
 
O primeiro passo, agora, é calcular a altura do triângulo e pode-se fazê-lo através do Teorema de Pitágoras,  uma vez que a metade do triângulo inicial é um triângulo retângulo. Calcula-se:
 
 
Sabendo a medida da altura pode-se calcular a área do triângulo. Como o raio do círculo é 1/3 da altura, é possível, também, calcular a área do círculo. A área interna ao triângulo e externa ao círculo é obtida pela diferença entre a área do triângulo e a área do círculo. Calcula-se:
 
 


Anderson, espero tê-lo ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.
 
VEJA TAMBÉM:
Matemática - Relações Métricas no Triângulo Retângulo 

4 comentários:

  1. Escolhendo-se ao acaso um dentre todos os anagramas da palavra MASCOTE, a probabilidade de que seja um que não comece nem termine por vogal é de :
    a)1/7
    b)2/7
    c)3/7
    d)3/14

    Muito obrigada
    Mayara Tavares
    mayaratll@hotmail.com

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  2. Considere um trapézio ABCD retângulo em A, cuja
    medida do lado BC é o dobro da medida do lado
    AB, sendo esta a base menor do trapézio. Seja ainda M o ponto médio do lado BC e 114º a medida
    do ângulo D Mˆ B . Nestas condições, a medida do
    menor ângulo do trapézio é:
    A) 36º B) 48º C) 66º D) 76º

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  3. Bom dia. Tenho uma dificuldade para resolver a seguinte questão: Um círculo de raio igual a 2 cm está inscrito num triângulo retângulo cuja hipotenusa vale 8 cm. Determinar o perímetro do triângulo retângulo.(eta questãozinha porreta).
    Meu nome: José Elias A. Buchabqui
    meu e-mail: jebuchabqui@hotmail.com
    ANTECIPO MEUS AGRADECIMENTOS. FAVOR MANDAR COM URGÊNCIA, POIS TENHO QUE EXPLICAR PARA UM AMIGO MEU QUE FARÁ UMA PROVA DIA 21 DESTE MÊS(NOVEMBRO DE 2010).

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  4. Bom noite. Tenho uma dificuldade para resolver a seguinte questão: Um círculo de raio igual a 2 cm está inscrito num triângulo retângulo cuja hipotenusa vale 8 cm. Determinar o perímetro do triângulo retângulo.(eta questãozinha porreta).
    Meu nome: José Elias A. Buchabqui
    meu e-mail: jebuchabqui@hotmail.com
    ANTECIPO MEUS AGRADECIMENTOS. FAVOR MANDAR COM URGÊNCIA, POIS TENHO QUE EXPLICAR PARA UM AMIGO MEU QUE FARÁ UMA PROVA DIA 21 DESTE MÊS(NOVEMBRO DE 2010).

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