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Matemática - Números Primos

24/07/2010 - Sidnei disse... 
 
Será que alguém pode me ajudar com esta questão?
 
Sejam p1, p2, p3 e p4 números primos distintos e seja p um número primo que divide o número p1p2 + p3p4. Prove que p é diferente de p1, p2, p3 e p4.
 
30/07/2010 - D.A. RESOLVE
 
Sidnei, boa tarde. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-lo em sua dúvida que trata de propriedades dos números primos.
 
O primeiro passo é entender que um número primo é aquele que só é divisível por 1 e por ele mesmo (tem, somente, dois divisores). Sabe-se, também que todos os números primos são ímpares com excessão do número 2.
 
Os problemas que envolvem números primos costumam ser de alta complexidade, como é o caso deste. Analisam-se algumas conjecturas:
 
1ª conjectura: O produto de dois números primos sempre gera um número que possui quatro divisores, o número um, um dos primos em questão, o outro primo e o produto dos dois primos. Exemplo:
 

2ª conjectura: O produto de outros dois números primos diferentes dos dois primeiros, também, gera um número com quatro divisores e todos eles diferentes dos divisores do primeiro produto. Exemplo:

3ª conjectura: O produto de dois primos e o produto de outros dois primos diferentes geram números primos entre si (números que não possuem divisores comuns, a não ser o 1). Exemplo:


4ª conjectura: Ao se adicionar dois números primos entre si a soma formará um trio de números primos entre si. Exemplo:
 


5ª conjectura: Sejam p1 = 19, p2 = 23, p3 = 13 e p4 = 17 números primos distintos e seja p = 47 um número primo que divide o número p1p2 + p3p4 ( 437 + 221 = 658). Prove que p = 47 é diferente de p1 = 19, p2 = 23, p3 = 13 e p4 = 17.
A 5ª conjectura, apesar de ser provada para um caso particular, serve para todos os casos que envolvam números primos distintos.

Sidnei, espero tê-lo ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.
VEJA TAMBÉM:
Matemática - Máximo Divisor Comum ( M.D.C.)
Matemática - Múltiplos - Frações Equivalentes - Frações de um todo 

Matemática - Cálculo Vetorial - Lei dos Cossenos

12/07/2010 - Alexandre disse... 
 
Mostre que se as diagonais de um paralelogramo tem o mesmo comprimento, então, ele é um retângulo.
 
Desde já sou muito grato.

30/07/2010 - D.A. RESOLVE

Alexandre, boa tarde. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-lo em sua dúvida que trata de cálculos vetoriais.

O primeiro passo é esquematizar um paralelogramo, considerando seus lados como vetores, e aplicando sobre os mesmo, os cálculos de soma de vetores. Tem-se:
 

Se os lados do parelelogramo são os vetores U e V, então, suas diagonais são os veores (U - V) e ( U + V). A premissa proposta é: se as diagonais sejam iguais, então o paralelograma é um retângulo. Utilizam-se a Lei dos Cossenos e o módulo ao quadrado dos vetores que representam as diagonais para provar a premissa. Tem-se:
 

Prova-se, desta forma, que os ângulos internos do paralelogramo são retos (90°). Paralelogramo com ângulos retos são retângulos.
 
Alexandre, espero tê-lo ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.
VEJA TAMBÉM:
Matemática - Geometria Analítica - Produto Escalar de Vetores
Matemática - Produto Vetorial de Vetores 

Matemática - Produto Vetorial de Vetores

12/07/2010 - Alexandre disse... 
 
Como posso resolver esse exercicio, por favor me ajudem:
Em relação ao produto vetorial de dois vetores, mostre que (U + V) X (U – V) = 2V X U

29/07/2010 - D.A. RESOLVE

Alexandre, boa noite. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-lo em sua dúvida que trata de produto vetorial entre dois vetores.
 
O primeiro passo é aprender as propriedades do produto vetorial, tem-se:
 
 
Dadas propriedades acima descritas, deve-se saber que os vetores i, j e k são unitários e prependiculares entre si. Sabendo as propriedades, pode-se calcular:
 

O sinal de produto vetorial foi trocado para melhor identifica-lo, sendo assim a hipótese está provada.

Alexandre, espero tê-lo ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.
VEJA TAMBÉM:
Matemática - Geometria Analítica - Produto Escalar de Vetores

Matemática - Média Aritmética Ponderada


27/07/2010 - Cleice disse... 
 
Oi! tenho uma dúvida, como se calcula a média aritmética ponderada, em uma prova de 70 questões TRE/RS, sendo que 30 questões têm peso 1 e 40 têm peso 3. Eu acertei 20 questões com peso 1 e acertei 20 questões com peso 3, qual é a média aritmética ponderada.
 
28/07/2010 - D.A. RESOLVE

Cleice, boa tarde. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudar em sua dúvida que trata de média aritmética ponderada.

O primeiro passo é descobrir o valor proporcianal de cada questão. Para isso, deve-se construir uma equação somando os valores das 30 questões de peso 1 mais os valores das 40 questões de peso 3 e este resultado deve ser dividido pelo número total de questões. O valor encontrado tem que ser 10 a nota máxima da prova. Tem-se:
 

Sabe-se, então, os valores das questões de peso 1 (14/3) e de peso 3 (14). O segundo passo é calcular a média aritmética ponderada que resulta na nota de um candidato que acertou 20 questões de peso 1 e 20 questões de peso 3. Para isso, multiplicam-se os valores de cada questão pelo número de questões acertadas, somam-se os resultados e divide  o valor encontrado pelo número total de questões da prova. Vê-se:
 

Quando se acerta 20 questões de peso 1 e 20 questões de peso 3 a nota calculada pela média ponderada é 5,33.
 
Cleice, espero ter ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.
VEJA TAMBÉM:
Matemática - Média Aritmética Ponderada II
Matemática - Média Aritmética Ponderada I 

Física - Campo Elétrico - Força Elétrica - Capacitor de Placas Paralelas

02/08/2010 - Mayara disse... 
 
A figura representa duas placas metálicas paralelas de largura 
entre as quais é criado um campo elétrico uniforme, vertical, perpendicular às placas, dirigido para baixo e de módulo
Um elétron incide no ponto O, com velocidade horizontal
percorrendo a região entre as placas. Após emergir desta região, o elétron atingirá uma tela vertical situada à distância de 0,40 m das placas.
 
Dados:
 
Considerando desprezíveis o campo elétrico na região externa às placas e a ação gravitacional, calcule:
 
a) o módulo da força elétrica que atua no elétron entre as placas, representando, na figura a seguir, sua direção e sentido;
b) o tempo que o elétron leva para emergir da região entre as placas;
c) o deslocamento vertical que o elétron sofre ao percorrer sua trajetória na região entre as placas;
d) as componentes horizontal e vertical da velocidade do elétron, no instante em que ele emerge da região entre as placas;
e) o deslocamento vertical que o elétron sofre no seu percurso desde o ponto O até atingir a tela.
 
03/08/2010 - D.A. RESOLVE

Mayara, boa noite. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-la em sua dúvida que trata do estudo de um elétron passando pelo campo elétrico de um capacitor de placas paralelas.

a) Ao estudar a força elétrica originária de um campo elétrico, vê-se que o mesmo é muito parecido com o campo gravitacional. O campo elétrico é o resultado da razão entre a força elétrica e a carga elétrica sujeita a esse campo. Sabe-se que o campo gravitacional é o resultado da razão entre a força gravitacional (peso) e a massa sujeita a esse campo. Tem-se:


Desta forma, calcula-se o módulo da força elétrica que atua em um elétron sujeito ao campo elétrico das placas do capacitor. Vê-se:

 
O módulo da força elétrica que atua no elétron quando o mesmo passa pelo campo elétrico do capacitor é o valor calculado acima.
Sabe-se que o sentido do campo elétrico e da força elétrica é o mesmo se a carga de prova for positiva (próton) e é contrário para uma carga de prova negativa (elétron). Já a direção do campo elétrico e da força elétrica é sempre a mesma. Tem-se:
 

A força elétrica tem a mesma direção do campo elétrico vertical e o sentido desta força elétrica é contrário ao do campo elétrico, então, o sentido da força elétrica e de baixo para cima, conforme figura acima.
 
b) O elétron passa entre as placas do capacitor e a força elétrica age, somente, na direção vertical. Na direção horizontal o elétron permanece em movimento uniforme com velocidade constante. No M.U. a velocidade instantânea é igual a velocidade média, então:
 

c) Quando está passando pelas placas o elétron fica em presença da força elétrica todo o tempo que demora para atravessa-las. Esta força imprime uma aceleração vertical para cima ao elétron (cansidera-se a força gravitacional despresível). No início deste movimento vertical uniformemente variado a velocidade vertical inicial é 0 m/s, então:
 


Sabe-se, desta forma, o deslocamento vertical do elétron.
 
d) Na horizontal o elétron descreve um movimento uniforme com velocidade constante, então, ao emergir das placas terá a mesma velocidade com que entrou entre elas. Na vertical o elétron descreve um movimento uniformemente variado e a velocidade varia conforme a força elétrica aplicada sobre ele. Tem-se:
 

e) Calcula-se o tempo que o elétron leva para ir do fim das placas até a tela. A velocidade na horizontal é constante, então, o movimento é uniforme. Tem-se:
 

Quando o elétron abandona as placas não existem mais força elétrica atuando sobre ele e a velocidade vertical do mesmo deixa de ser acelerada e mantem-se com o mesmo valor da velocidade no final das placas. Como a ação da gravidade é despresível o movimento vertical depois das placas é uniforme, então:


Mayara, espero tê-la ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.
VEJA TAMBÉM:
 
Física - Movimento Uniforme - Movimento Uniformemente Variado 
Física - Interação Elétrica - Cargas elétricas e seus Sinais 

Física - Movimento Uniforme - Movimento Relativo entre dois corpos

24/07/2010 - Juarez disse...
 
(Ufpe 2000) Um remador está descendo um rio com velocidade de 3 m/s em relação à margem. A velocidade da correnteza é de 0,50 m/s em relação à margem. Em um determinado instante o vento atira o boné do remador, no rio, a uma distância de 17,5 m em linha reta, à sua frente. Em quantos segundos o remador alcançará o boné deslocando-se em linha reta?
27/07/2010 - D.A. RESOLVE
Juarez, boa noite. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-lo em sua dúvida que trata de movimento uniforme e movimento relativo entre dois corpos.
 
Esquematiza-se a situação com todos os dados do problema:
 
 
Deve-se saber que, tanto o barco, quanto o boné estão sobre as águas, então, consideram-se as velocidades do barco VR = 3,0 m/s e a do boné VB = 0,50 m/s em relação a margem são constantes. Sabendo as posições iniciais de ambos os corpos pode-se montar as equações horárias dos dois corpos que estão em movimento uniforme.  Quando ocorre o encontro as posições do remador e do boné  serão as mesmas. Tem-se:
 

O tempo gasto para o remador alcançar o seu boné é 7 s.
 
Juarez, espero tê-lo ajudado em sua dívida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.
VEJA TAMBÉM:
Física - M.U. Movimento Uniforme - Encontro entre dois corpos 
Física - Movimento Uniforme - Movimento Uniformemente Variado 

Matemática - Princípios de Contagem - Arranjo Simples

26/07/2010 - Mayara disse... 
 
Usando-se os algarismos de 0 a 9, considere todos os N números de 5 algarismos distintos entre si, de forma que os algarismos 2 e 3 sempre estejam juntos nessa ordem. O valor de N é

28/07/2010 - D.A. RESOLVE

Mayara, boa tarde. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-la em sua dúvida que trata de análise combinatória, mais especificamente, de princípios de contagem.
 
O primeiro passo é identificar o princípio de contagem adequado à questão. Nesse caso, em particular, como os algarismos são distintos (não se repetem) e como a ordem dos algarismos produzem números diferentes (a ordem é importante), utiliza-se o arranjo simples.
 

Já se sabe o princípio de contagem que será utilizado, então, raciocina-se sobre a situação. Os números terão 5 algarismos, mas, é preciso que apareçam os algarismos 2 e 3 sempre juntos nessa ordem. Dessa forma, considerando essa dupla (2 e 3) como um único elemento (algarismo) do número, passa-se a ter um número formado de 4 elementos (algarismos) e esses elementos passam a ser 9 quando eram na verdade 10 ( 0 a 9 ). Tem-se:
 

Agora é só calcular o valor N, que é uma arranjos simples de 9 elementos 4 a 4.


São 3024 números diferentes, de 5 algarismos distintos, com 2 e 3 juntos nessa ordem, formados com os algarismos de 0 a 9.
 
Mayara, espero tê-la ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.
VEJA TAMBÉM:
Matemática - Probabilidade - Princípios de Contagem
Matemática - Análise Combinatória 
Matemática - Arranjo Simples  

Matemática - Múltiplos de um Número

19/07/2010 - Uma Janela para o Mundo disse...
 
Como resolver o problema: qual o maior múltiplo de 8 e menor do que 1000? 

26/07/2010 - D.A.RESOLVE

Boa noite, Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudar na solução desta dúvida que trata de multiplos de um número.
 
O primeiro passo é saber o que é múltiplo de um número? Múltiplo é o valor de algumas vezes o número. Sendo assim, são múltiplos de 8 = {0, 8, 16, 24, 32,...}. Deve-se saber se o número 1.000 é multiplo de 8. Para isso, divide-se 1.000 por 8, se a divisão for exata 1.000 é múltiplo de 8. Tem-se:
 

Sabe-se, então, que 1.000 é divisível por 8 e, portanto, 1.000 é múltiplo de 8. Para se calcular o maior múltiplo de 8 menor que 1.000 é só diminuir 1 vez em que o 8 é multiplicado para se chegar a 1.000. Tem-se:
 

Então, o maior múltiplo de 8 menor que 1.000 é 992.
 
Espero ter ajudado nesta dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.
VEJA TAMBÉM:
Matemática - Simplificação e Subtração de Frações
Matemática - Múltiplos - Frações Equivalentes - Frações de um todo  

Matemática - Geometria Analítica - Produto Escalar de Vetores

12/07/2010 - Alexandre disse... 
 
Como posso resolver esse exercicio, por favor me ajudem:
 
Na questão abaixo, desenvolva os cálculos e faça o desenho respectivo:
 
Sejam U e V vetores no espaço com V ≠ 0:
 
a) Determine o número α, tal como U – αV seja ortogonal a V
 
Desde já sou muito grato. Alexandre
 
24/07/2010 - D.A. RESOLVE

Alexandre, boa noite. Sou Reginaldo Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-lo em sua dúvida que trata de cálculo vetorial, mais precisamente, produto escalar entre dois vetores.
 
O primeiro passo é esquematizar os vetores U e V. Através do esquema utiliza-se o Teorema de Pitágoras e a propriedade distributiva do produto escalar para se alcançar o valor de a procurado no item a.

 
Na teoria do cálculo vetorial, vetores ortogonais (perpendiculares) apresentam o seu produto escalar igual a zero. Usando este conceito, também, se chega ao valor de a procurado. Chega-se a esta conclusão utilizando a Lei dos Cossenos na soma de vetores quaisquer. Vê-se:
 


Provado que o produto escalar de vetores ortogonais é zero, faz-se o produto escalar dos vetores em questão e igual-se a zero.Tem-se:
 
 
Fica, então, mais que provado o valor de a.

Alexandre, espero tê-lo ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.
VEJA TAMBÉM:
Matemática - Geometria Analítica - Equação da Circunferência
Matemática - Equação da Reta  

Matemática - Geometria Analítica - Equação da Circunferência

21/07/2010 - Tânia disse... 
 
A circunferência cuja equação é:
 
 
tem raio igual a?

24/07/2010 - D.A. RESOLVE

Tânia, boa tarde. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-la em sua dúvida que trata de geometria analítica, equação da circunferência.

O primeiro passo é conhecer o lugar geométrico chamado circunferência.
 
A circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano que equidistam de um único ponto denominado centro da circunferência.
 
 
Utilizando o conceito da distância entre dois pontos, pode-se calcular o raio da circunferência. A distância entre o centro da circunferência C e o ponto da circunferência P é dada por:
 
 
Olhando para a circunferência é fácil perceber que a distância entre C e P é a medida do raio r. Sendo assim:
 

Agora, se conhece a equação reduzida da circunferência.
 
Para se conhecer a equação geral, desenvolvem-se os quadrados das diferenças da equação. Para evitar confusões substitui-se xC por a e yC por b. Tem-se:


Comparando a equação geral da circunferência com a equação do problema, tem-se:
 

Tânia, espero tê-la ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.
VEJA TAMBÉM:
Matemática - Equação da Reta
Matemática - Área do Círculo - Regra de Três Simples  

Matemática - Financeira - Juros Compostos

19/07/2010 - Tânia disse... 
 
Aplicando-se R$ 5.000,00 a juros compostos, à taxa nominal de 24% ao ano com capitalização bimestral.  Qual será o montante em reais, ao fim de 4 meses?

22/07/2010 - D.A. RESOLVE
 
Tânia, boa tarde. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-la em sua dívida que trata de juros compostos.

O primeiro passo é transformar a taxa nominal anual de 24% em taxa efetiva bimestral, pois a capitalização é bimestral. O processo está bem detalhado na dúvida resolvida no dia 30/04/2010 (Matemática - Financeira - Taxas Equivalentes - Taxa Efetiva - Taxa Nominal) . Calcula-se:


Agora, sabe-se que a taxa nominal de 24 % ao ano equivale a uma taxa efetiva de 3,65 % ao bimestre. O segundo passo é calcular o montante no final de 4 meses de aplicação, equivalente a 2 bimestres. Calcula-se:
 
 
O capital de R$ 5.000,00 aplicado a uma taxa nominal de 24 % capitalizado bimestralmente no período de 4 meses gera um montante de R$ 5.371,66.
 
Tânia, espero tê-la ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.
VEJA TAMBÉM:
Matemática - Financeira - Taxas Equivalentes - Taxa Efetiva - Taxa Nominal
Matemática - Lucro Composto - Prejuízo Composto 

Matemática - Problema do 1º Grau - Expressão Numérica

18/07/2010 - Antônio Paiva disse... 
 
5° Um pedreiro ganha R$ 3,10 por cada hora de trabalho, até um total de 9 horas diárias. Se ultrapassar as 9 horas, no dia, ganha 70% a mais por hora extra trabalhada.
 
A expressão que fornece o quanto ganhou no dia em que trabalhou t horas extras é?
a) 3,10t . (1,7 + 9)     b) 3,10 (t + 9) . 1,7     c) 3,10 . 9 + 1,7t    d) 3,10 . 1,7 + 9t        e) 3,10 (9 + 1,7t)

22/07/2010 - D.A. RESOLVE
 
Antônio, boa tarde. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-lo em sua dúvida que trata de problema do 1º Grau, construção de expressão numérica.

O primeiro passo é seperar os valores que constituem o ganho G em um dia de trabalho. Este valor é formado por 9 horas diárias a R$ 3,10 reais cada + t horas extras a R$ 3,10 cada + 70% desse valor. Constrói-se a expressão:
 

Alternativa E.
 
Antônio, espero tê-lo ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.
VEJA TAMBÉM:
Matemática - Problemas do 1º Grau
Matemática - Problemas do 1º Grau com uma váriável  

Matemática - Sistemas de Equações do 1º Grau

18/07/2010 - Antônio disse... 
 
4° Certo dia, uma livraria vendeu 10 livros, todos com o mesmo preço e, 20 cadernos iguais e recebeu R$ 600,00. No dia seguinte vendeu 40 cadernos iguais e 8 livros com o mesmo preço e recebeu R$ 600,00. com esses dados, pode-se concluir que, nessa livraria,
 
a) o preço do livro é 10 vezes mais caro que o do caderno.
b) o preço do caderno é 10 vezes mais caro que o do livro.
c) o preço do caderno equivale ao preço do livro.
d) o preço do livro é duas vezes mais caro que o do caderno.
e) o preço do caderno é 1/4 do preço do livro.
 
22/07/2010 - D.A. RESOLVE

Antônio, boa tarde. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-lo em sua dúvida que trarta de sistema de equações do 1º grau.

O primeiro passoé estabelecer os valores para os preços dos livros e dos cadernos. Em seguida equacionam-se as duas situações descritas:
 
 
O segundo passo é resolver o sistema de equações do 1º grau. Existe dois modo de fazê-lo. 
 
Resolução por produto e soma.


Sabe-se, então, que os Livros custam R$ 50,00 e os cadernos R$ 5,00.
 
Resolução por Substituição

 
O resultado, novamente é R$ 50,00 para os livros e R$ 5,00 para os cadernos. Alternativa A.
 
Antônio, espero tê-lo ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.
VEJA TAMBÉM:
Matemática - Sistemas de Equação do 1º Grau
Matemática - Problemas do1º Grau - Sistemas de Equações - Regra de Três Simples  

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