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Matemática - Regra de Três Simples Direta - Função do 2º Grau

05/01/2010 - Mozarth disse...

Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada pessoa pagasse R$ 6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um total de R$ 2.760,00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$ 1,50 no preço de inscrição, receberia 10 participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço unitário da inscrição em tal evento deve ser...

a) R$15,00       b) R$ 24,50        c) R$ 32,75         d) R$ 37,50           e) R$ 42,50

06/01/2010 - CCDA RESOLVE

Boa tarde, Mozarth. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do CCDA, vou ajudá-lo em sua dúvida que trata da utilização de regra de três, um conceito matemático muito útil.

É fácil notar que, para cada aumento de R$ 1,50 no valor da inscrição, o número de participantes diminui em 10 candidatos, tem-se a relação:

Aumento na inscrição                                         Número de participantes a menos
1,50                                                                                10

Deve-se verificar quantos participantes vão se inscrever para cada valor da inscrição. Se a inscrição for de R$ 15,00 significa que o valor inicial R$ 6,00 foi aumentado de R$ 9,00. Monta-se a seguinte regra de três simples e direta:


Se o número inicial de participantes era 460, então, tem-se: 460 - 60 = 400 participantes, pagando R$ 15,00, totalizando 400 x 15,00 = 6.000,00. Quando a inscrição é R$ 15,00, arrecadam-se R$ 6.000,00.

Com inscrição a R$ 24,50, significa que o valor inicial R$ 6,00 foi aumentado em R$ 18,50. Mantêm-se o procedimento anterior:


Como o número inicial de participantes era 460, então, tem-se: 460 - 123,33 = 336.66 participantes pagando R$ 24,50, totalizando 366,66 x 24,50= 8.248,33. Quando a inscrição é R$ 24,50, arrecadam-se R$ 8.248,50.

Para inscrição a R$ 32,75 tem-se o valor inicial R$ 6,00 aumentado em R$ 26,75. Prosseguindo, tem-se:


O número inicial de participantes era 460, então, tem-se: 460 - 178,33 = 281.66 participantes, pagando R$ 32,75, totalizando 281,66 x 32,75 = 9.224,69. Quando a inscrição é R$ 32,75, arrecadam-se R$ 9.224,69.

Inscrição de R$ 37,50 significa que o valor inicial R$ 6,00 aumentou em R$ 31,50. Tem-se:


Inicialmente, eram 460 participantes, então, tem-se: 460 - 210 = 250 participantes pagando R$ 37,50 totalizando 250 x 37,50 = 9.375,00. Quando a inscrição é R$ 37,50, arrecadam-se R$ 9.375,00.

Inscrição de R$ 42,50 significa que o valor inicial R$ 6,00 aumentou em R$ 36,50. Tem-se:


Inicialmente, eram 460 participantes, então, tem-se: 460 - 243,33 = 216.66 participantes, pagando R$ 42,50, totalizando 216,66 x 42,50 = 9.208,47. Quando a inscrição é R$ 42,50, arrecadam-se R$ 9.208,47.

Percebe-se, facilmente, que a maior arrecadação é proporcionada pela inscrição de valor R$ 37,50. A alternativa correta é a D.

Mozarth, espero tê-lo ajudado em sua dúvida e apresento um desafio para você. Existe algum valor de inscrição entre R$ 37,50 e R$ 42,50 que apresentaria uma arrecadação maior que a inscrição de R$ 37,50?

07/01/2010 - Mozarth disse...

Quanto ao problema que enviei sobre o aumento do preço, não teria como equacioná-lo, em vez de calcular o resultado para cada opção. Esse último procedimento não parece prático. E se não houvessem opções?

11/01/2010 - CCDA RESOLVE

Mozarth, sua observação é totalmente lógica, minha intenção era mostrar que em Matemática quase tudo se resolve com a boa e velha regra de três. Vou mostrar a você como construir uma lei, uma equação, na verdade uma função que represente a problemática deste exercício.

Denomina-se de y o valor da arrecadação total do evento. Essa arrecadação é igual ao produto do número de participantes (inscritos) pelo valor do ingresso. Tanto o número de incritos como o valor do ingresso depende do número de vezes x que este ingresso vai aumentar. Observa-se:


Nota-se que o valor do ingresso e o número de inscritos dependem da variável  x. Quando  x  for 0 (zero) a condição inicial é respeitada. A arrecadação vai ser [6,00 + (1,50 x 0)] = 6,00 vezes [460 - (10 x 0)] = 460, então, o total arrecadado será de R$ 2.760,00. Para tornar esta função mais comum, aplica-se a propriedade distributiva.

Obtém-se, assim, uma função do 2º grau, onde y (arrecadação) depende da variável x que representa o número de vezes que o ingresso vai aumentar em R$ 1,50. O gráfico que representa uma função do 2º grau, é uma parábola e quando o parâmetro, que multiplica o termo  é negativo, sua concavidade é para baixo. Observe:

É fácil observar que a arrecadação y é maior, exatamente, no vértice da parábola. Para se calcular este valor, deve-se saber as fórmulas das coordenadas do vértice. Toda função do 2º grau é do tipo:
y = ax² + bx + c

Vê-se, então:

Para se calcular a maior arrecadação deve-se utilizar o y do vértice e para se calcular o valor do ingresso, que gera a maior arrecadação, utiliza-se o x do vértice. A pergunta é: qual o preço do ingresso que gera a maior arrecadação possível? A resposta é: o valor, onde o número de vezes que o ingresso aumenta de R$ 1,50, é o x do vértice. Veja:


Quando o valor do ingresso aumentar 21 vezes a quantia de R$ 1,50, a arrecadação será máxima. Calcula-se:

Para que a arrecadação seja máxima, o ingresso deve ser R$ 37,50.

Nota-se que o conceito de Função do 2º grau é, matematicamente, mais poderoso que a regra de três simples. Ele resolve o problema de forma direta, mas, é preciso aprendê-lo bem para saber usá-lo.

 Deixo para você, Mozarth, a seguinte pergunta: Qual é a arrecadação máxima? Existem duas maneiras de calculá-la, descubra quais são? Utilize o conceito da Função do 2º grau.

Não pense que o processo mais prático é este que você aprendeu hoje. O conceito de derivada de uma função é, ainda, mais poderoso e rápido. Mas este aprendizado fica para uma próxima vez.

Espero, tê-lo ajudado. Continue enviando suas dúvidas.

6 comentários:

  1. Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada pessoa pagasse R$ 6,00 por sua inscrição, podeira contar com 460 participantes, arrecadando um total de R$ 2.760,00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$ 1,50 no preço de inscrição, receberia 10 participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço unitário da inscrição em tal evento deve ser...
    a) R$15,00
    b) R$ 24,50
    c) R$ 32,75
    d) R$ 37,50
    e) R$ 42,50

    e-mail: mozarth11@gmail.com
    tel.: 2757-9506 (RJ)

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  2. Quanto ao problema que enviei sobre o aumento do preço, não teria como equacionar o problema, ao invés de calcular o resultado para cada opção. Esse último procedimento não parece prático. E se não houvesse opções?

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  3. Obrigado pela resposta. Quando é dada a equação do segundo grau, no final da resolução há um comentário sobre derivada. Vou tentar resolver desta forma e quero saber se respondi certo:
    y = -15x² + 630x + 2760
    derivando: y = 2.(-15x) + 630
    y = -30x + 630
    -30x + 630 = 0
    30x = 630
    x = 630/30
    x = 21
    y = 6 + 1,5 . 21
    y = 6 + 31,50
    y = 37,50
    mozarth11@gmail.com

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  4. que tal por regra de tres?

    "6 ----> 460 ----> "2.760
    "7,5---> 450 ----> " x

    desenvolvendo:

    7,50 = 460 . x
    ---- ---- ----
    600 450 2.760

    2700 . 7,50 = 600x

    x = 20250
    -----
    6

    x = 33,75

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  5. Anônimo, você precisa se cadastrar em Amigos do conhecimento e enviar junto com sua dúvida seu nome e e-mail

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  6. Segue solução transcrita do web site Yahoo:
    Temos a fórmula:
    Preço vezes pessoas
    a cada 1,5 a mais de 6, temos 10 a menos de 460.

    Entrada = (1,5p+6).(460-10p)
    Entrada = 690p -15p² + 2760 - 60p
    Entrada = -15p² + 630p + 2760

    Ensino Médio: Isso é uma parábola para baixo e o máximo se dá em -b/2a.
    Maxp = -630/2.(-15) = 630/30 = 21

    Curso Superior: Derivando a equação e igualando a zero teremos
    -30p+630=0
    p=21

    Então o máximo ocorre quando p=21
    Preço = 1,5p+6 = 1,5.21+6 = 37,50

    Alternativa D

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