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Matemática - Problemas do 1º Grau - Sistemas de Equações - Regra de Três Simples

16/02/2010 - Antonio Carlos disse...

EU TENHO O DOBRO DA IDADE QUE TU TINHAS QUANDO EU TINHA A TUA IDADE. QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES???

17/02/2010 - D.A. RESOLVE

Bom dia, Antonio. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A.. Vou ajudá-lo em sua dúvida que é a respeito de sistemas de equações do 1º e 2º graus.

Resolve-se nomeando as idades da seguinte forma:

Quando tu tinhas y anos, eu tinha x anos.
Hoje tu tens x e eu tenho 2y

A diferença entre as idades é sempre igual, é só pensar um pouco.

Tem-se um sistema de equações do 1º grau. Resolve-se, somando as duas equações:


A diferença das idades é k = y/2, então quando tu tiveres 2y eu terei sua idade mais a diferença, tem-se:



Agora, faz-se uma equação somando as idades futuras resultando em 45 anos, tem-se:


Hoje eu tenho 2y e tu tens x = 3y/2, então:


Eu tenho 20 anos e tu tens 15 anos.

Antônio, espero tê-lo ajudado, qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.

Português - Morfologia: artigo, preposição, pronome

28.01.2010 - Pedro Ferreira disse...

oi,eu tenho uma dúvida,espero que voces possa tirar essa duvida.

A cigarra começa a cantar assim que a primavera a despertar.

nas sua quatro ocorreencia do periodo acima, a palavra 'a' classifica-se, respectivamente?
pra dizer se é um pronome, preposiçao e artigo.


a minha dúvida é a seguinte: eu confundo em questoes desse geito, artigo com pronome, preposiçao com pronome e vice-verça.

o artigo, ele substantiva qualquer palavra; entao, como eu faço para nao conundir ele com preposiçao, e como eu faço para saber quando é um pronome?

e-mail: pedro_tarcio17@hotmail.com

03.02.2010 - CCDA RESOLVE

Pedro Tarcio Ferreira, sou Edson, professor de Português do CCDA e vou ajudá-lo na solução desta dúvida.

Antes de dar as informações solicitadas, quero que você observe as palavras escritas em vermelho na mensagem que você nos mandou. Em todas elas, há graves erros.

voces =   vocês - pronome de tratamento, palavra dissílaba, oxítona, terminada por E, deve ter acento gráfico;
possa = possam - o verbo deve concordar com o sujeito vocês, então, vai para o plural;
essa = pronome demonstrativo que, neste caso, deve ser trocado por esta, pois a dúvida vem, logo abaixo;
duvida = dúvida - palavra trissílaba, proparoxítona que, pela regra, tem acento gráfico;
sua =  palavra desnecessária nesta mensagem;
ocorreencia = ocorrência - palavra paroxítona, terminada em ditongo oral crescente e fechado, deve ter acento gráfico;
pra = forma popular e reduzida de para, deve ser evitada em comunicações escritas;
preposiçao = preposição - deve ter o ~ que é símbolo de som nasal;
a = A - ao iniciar uma oração, deve-se fazer com letra maiúscula;
questoes = questões - deve ter o ~ que é símbolo de som nasal;
geito = jeito;
vice-verça = vice-versa;
o =  O - ao iniciar uma oração, deve-se fazer com letra maiúscula;
; - você encerrou uma ideia, mas teve interesse de continuar escrevendo, na mesma linha, portanto deve usar ponto-e-vírgula, após encerrar a idei;
entao, = então, - deve ter o ~ que é símbolo de som nasal e, após a palavra, deve ser colocada uma vírgula;
nao = não  - deve ter o ~ que é símbolo de som nasal;
conundir  = confundir;
ele = LO - não se usa pronome pessoal do caso reto na função de objeto direto; deve-se usar pronome pessoal do caso oblíquo, daí, CONFUNDI-LO.

Sobre a dúvida, propriamente:

A(1) cigarra começa a(2) cantar assim que a(3) primavera a(4) despertar.

(1) e (3) = são artigos definidos, femininos e estão no singular, referindo-se, respectivamente, aos substantivos cigarra e primavera; eles definem, especificam a que substantivos referem-se;
(2) = preposição = por. Para saber se um a é preposição, de forma prática, troque-o por de, até, com, por, sobre, dentre outras preposições;
(4) = pronome pessoal do caso oblíquo = ela = cigarra. Os pronomes pessoais do caso oblíquo, com função de objeto direto são o, a, os, as.

Em síntese: os pronomes representam os seres = substantivos e os substituem nas orações; as preposições servem para ligar palavras; os artigos servem para referirem-se aos substantivos, definido-os, identificando-os, ou indefinindo-os, é o caso de um, uma, uns, umas.
                

Espero ter ajudado. Mande novas dúvidas. Avise seus amigos para mandarem, também.

Matemática - Progressão Aritmética

22/01/2010 - Lorrans disse...

As idades de João, Pedro, Paulo e Fernando estão em progressão aritmética, nessa ordem. João tem 14 anos e Paulo 36 anos, qual é a idade de Fernando?

28/01/2010 - CCDA RESOLVE

Bom dia, Lorrans. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do CCDA, vou ajudá-lo em sua dúvida que trata do conceito de progressão aritmética.

Progressão Aritmética ( P.A.) é toda sequência numérica que possui uma razão constante que é somada a um termo para se encontrar o termo subsequente.

Exemplo: {2, 5, 8, 11, 14,....} é fácil perceber que a razão desta sequência numérica é r = 3. Somando-se a razão ao primeiro termo da sequência obtem-se o termo seguinte. 2 + 3 = 5. A regra vale para os demais termos subsequentes. Analisa-se:



Considerando-se as idades como os termos da P.A., tem-se:

Se a razão da P.A. é 11 basta soma-la a idade de Paulo (a3 = 36) para que se encontre a idade de Fernando (a4).


Desta forma, Fernando possui 47 anos.

Lorrans, espero tê-lo ajudado em sua dúvida. Qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos, mande-nos em forma de outra dúvida.

Física - Conservação de Energia Mecânica

24/02/2010 - Matheus disse...


Professor, me ajuda?

(CGE 277) 45. Uma criança parte do repouso do ponto A, do alto de um tobogã de 5 m de altura,e desliza sem atrito chegando ao chão.

Dado que g = 10 m/s², a velocidade com que a criança chega no chão é,em m/s, de:

a. 2      b. 5      c. 6     d. 8      e.10

8/03/2010 - CCDA RESOLVE
Boa tarde, Matheus. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do CCDA, vou ajudá-lo em sua dúvida que se trata de conservação da energia mecânica.

Primeiramente, é necessário saber que a energia mecânica de um corpo é composta de dois tipos de energia. Uma armazenada que é chamada de energia potencial e outra de movimento que é chamada de energia cinética.
Neste caso a energia potêncial do corpo é a energia potencial gravitacional que é proporcional a altura do corpo e a energia cinética é ela mesma. Como o corpo não sofre nenhum tipo de atrito ou resistência o sistema mecânico é conservativo e a energia mecânica no início do movimento será a mesma do final desse movimento. Como o corpo parte do repouso, o que indica velocidade 0 m/s, ele não tem energia cinética no início, somente energia potencial gravitacional. No final do movimento, quando chega ao solo, o corpo só possui energia cinética, pois sua altura é 0 m e não há energia potencial gravitacional armazenada. Então:


A criança chegaria no solo com velocidade de 10 m/s. Alternativa E.

Matheus, espero tê-lo ajudado em sua dúvida, qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos aqui apresentados mande-nos em forma de outra dúvida. 

Matemática - Progressão Geométrica - Equação Polinomial do 3º grau

14/01/2010 - Mozarth disse...

Um fazendeiro dividiu 30 km² de suas terras entre seus 4 filhos, de idades distintas, de modo que as áreas dos terrenos recebidos pelos filhos estavam em progressão geométrica, de acordo com a idade, tendo recebido mais quem era mais velho. Ao filho mais novo coube um terreno com 2 km² de área. O filho que tem a idade imediatamente superior à do mais novo recebeu um terreno de área igual a:

a) 10 km²     b) 8 km²       c) 4 km²         d) 6 km²        e) 3 km²

20/01/2010 - CCDA RESOLVE

Mozarth, boa tarde. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do CCDA, vou ajudá-lo em sua dúvida a respeito do conceito Progressão Geométrica ( P.G.).

Percebe-se que o terreno foi dividido entre quatro filhos, então, a progressão possui 4 termos. A soma desses termos resulta na área total do terreno 30 km². O filho mais novo ficou com a primeira parte do terreno dividido, então o primeiro termo da P.G. é 2 km². A pergunta é: qual o valor do segundo termo? O que corresponde a parte do segundo filho de acordo com a idade. Analisa-se:


De posse da soma dos termos de uma P.G. e com os dados divulgados acima, pode-se calcular o valor da razão q.






Aplicando a propriedade distributiva encontra-se a equação polinomial do 3º grau q³ + q² + q - 14 = 0. Esta equação poderia ser resolvida pelas Relações de Girard, porem faltam imformações sobre as raízes desta equação. Mas é fácil perceber que 2 é uma das raízes desta equação. Calcula-se:


Quando um polinômio adimite como raiz o 2, então, este polinômio é divisível pelo binômio ( q - 2 ). Ve-se:

Dessa forma, pode-se calcular mais facilmente as outras raízes da equação:


Aplica-se a formulação de Báskara para a resolução:


É preciso utilizar o conceito de números complexos para obter as raízes complexas da equação:


Tem-se, desta forma, três valores para a razão q da progressão geométrica apresentada. Como dois deles são números complexos não satisfazem a situação apresentada. Então, a razão é 2.
É preciso, agora, calcular o segundo termo da progressão geométrica apresentada, que representa a área do terreno do segundo filho.

Chega-se, então, ao valor da área do terreno do segundo filho que vale 4 km². Alternativa C.

Mozarth, espero tê-lo ajudado em sua dúvida, qualquer dificuldade no entendimento dos conceitos empregados mande-nos em forma de outra dúvida.

Matemática - Progressão Geométrica

07/01/2010 - Mozarth disse...

A tabela apresenta em cada linha, o número de cabeças de um rebanho no final do ano dado.

ANO..........CABEÇAS
1997..........2000
1998..........1600
1999..........1280
....

Se o rebanho continuar decrescendo anualmente na progressão geométrica indicada pela tabela, no final de 2006 o número de cabeças do rebanho estará entre                                               Dado: (log 2 = 0,3010)

a) 10 e 80     b) 80 e 100     c) 100 e 400       d) 400 e 800      e) 800 e 1000

11/01/2010 - CCDA REVOLVE

Boa tarde Mozarth. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do CCDA, e vou ajudá-lo em sua dúvida a respeito de Progressão Geométrica.

Vê-se, claramente, a existência de uma sequência numérica decrescente que segue a formulação de uma progressão geométrica (P.G) cuja razão é q = 4/5. Para se calcular o número de cabeças de gado no ano de 2006, basta encontrar o valor do 10º termo desta P.G. Analisa-se:

Para se encontrar o 10º termo, utiliza-se o termo geral da P.G. Analisa-se:

Para se resolver este cálculo, deve-se aplicar o conceito de logaritmo nos dois lados da equação. Calcula-se:


 Sabe-se que log 2 = 0,3010 e log 10 = 1, então, calcula-se:

 Como 2,428 está entre os inteiros 2 e 3, calcula-se:

O resultado acima foi arredondado para 268, então, a alternativa correta é C.

Mozarth, espero tê-lo ajudado em sua dúvida. Continue mandando outras dúvidas.

Matemática - Área de Retângulo e Regra de Três Simples

06/01/2010 - Jonathan disse...

Como é que se resolve esse exercício, por favor?

Para fabricar uma peça rentangular com 40 cm de comprimento e 50 cm de largura, são neccessários 50 g de alumínio. Com 860 g de alumínio pode-se fazer uma peça retangular com a mesma espessura que a anterior, porém, com X cm de comprimento e 80 cm de largura. O valor de "X" é:

A) 23 cm      B) 34 cm      C) 43 cm      D) 76 cm      E) 98 cm

07/01/2010 - D.A. RESOLVE

Boa tarde, Jonathan. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do D.A., vou ajudá-lo em sua dúvida que se trata do conceito de áreas e, também, relações de grandezas proporcionais ou regra de três simples.

A primeira peça retangular possui largura de 50 cm, comprimento de 40 cm e sua massa é 50 g. As grandezas diretamente proporcionais são a área do retângulo e sua massa, visto que a espessura é considerada como constante. Quanto maior a área desse retângulo maior será sua massa. Para se calcular a área retangular deve-se considerar as duas dimensões ( largura e comprimento), o produto destas dimensões resulta na área do retângulo.
A área da segunda peça é calculada da mesma forma e suas dimensões são comprimento X cm e largura 80 cm. Tem-se:
As duas peças possuem grandezas diretamente proporcionais e assim, pode-se montar uma regra de três simples e direta:
O comprimento X da segunda peça é 430 cm. A alternativa correta seria C, deve ter havido um engano na digitação da mesma.

Jonathan, espero tê-lo ajudado em sua dúvida.

Matemática - Regra de Três Simples Direta - Função do 2º Grau

05/01/2010 - Mozarth disse...

Ao levantar dados para a realização de um evento, a comissão organizadora observou que, se cada pessoa pagasse R$ 6,00 por sua inscrição, poderia contar com 460 participantes, arrecadando um total de R$ 2.760,00. Entretanto, também estimou que, a cada aumento de R$ 1,50 no preço de inscrição, receberia 10 participantes a menos. Considerando tais estimativas, para que a arrecadação seja a maior possível, o preço unitário da inscrição em tal evento deve ser...

a) R$15,00       b) R$ 24,50        c) R$ 32,75         d) R$ 37,50           e) R$ 42,50

06/01/2010 - CCDA RESOLVE

Boa tarde, Mozarth. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do CCDA, vou ajudá-lo em sua dúvida que trata da utilização de regra de três, um conceito matemático muito útil.

É fácil notar que, para cada aumento de R$ 1,50 no valor da inscrição, o número de participantes diminui em 10 candidatos, tem-se a relação:

Aumento na inscrição                                         Número de participantes a menos
1,50                                                                                10

Deve-se verificar quantos participantes vão se inscrever para cada valor da inscrição. Se a inscrição for de R$ 15,00 significa que o valor inicial R$ 6,00 foi aumentado de R$ 9,00. Monta-se a seguinte regra de três simples e direta:


Se o número inicial de participantes era 460, então, tem-se: 460 - 60 = 400 participantes, pagando R$ 15,00, totalizando 400 x 15,00 = 6.000,00. Quando a inscrição é R$ 15,00, arrecadam-se R$ 6.000,00.

Com inscrição a R$ 24,50, significa que o valor inicial R$ 6,00 foi aumentado em R$ 18,50. Mantêm-se o procedimento anterior:


Como o número inicial de participantes era 460, então, tem-se: 460 - 123,33 = 336.66 participantes pagando R$ 24,50, totalizando 366,66 x 24,50= 8.248,33. Quando a inscrição é R$ 24,50, arrecadam-se R$ 8.248,50.

Para inscrição a R$ 32,75 tem-se o valor inicial R$ 6,00 aumentado em R$ 26,75. Prosseguindo, tem-se:


O número inicial de participantes era 460, então, tem-se: 460 - 178,33 = 281.66 participantes, pagando R$ 32,75, totalizando 281,66 x 32,75 = 9.224,69. Quando a inscrição é R$ 32,75, arrecadam-se R$ 9.224,69.

Inscrição de R$ 37,50 significa que o valor inicial R$ 6,00 aumentou em R$ 31,50. Tem-se:


Inicialmente, eram 460 participantes, então, tem-se: 460 - 210 = 250 participantes pagando R$ 37,50 totalizando 250 x 37,50 = 9.375,00. Quando a inscrição é R$ 37,50, arrecadam-se R$ 9.375,00.

Inscrição de R$ 42,50 significa que o valor inicial R$ 6,00 aumentou em R$ 36,50. Tem-se:


Inicialmente, eram 460 participantes, então, tem-se: 460 - 243,33 = 216.66 participantes, pagando R$ 42,50, totalizando 216,66 x 42,50 = 9.208,47. Quando a inscrição é R$ 42,50, arrecadam-se R$ 9.208,47.

Percebe-se, facilmente, que a maior arrecadação é proporcionada pela inscrição de valor R$ 37,50. A alternativa correta é a D.

Mozarth, espero tê-lo ajudado em sua dúvida e apresento um desafio para você. Existe algum valor de inscrição entre R$ 37,50 e R$ 42,50 que apresentaria uma arrecadação maior que a inscrição de R$ 37,50?

07/01/2010 - Mozarth disse...

Quanto ao problema que enviei sobre o aumento do preço, não teria como equacioná-lo, em vez de calcular o resultado para cada opção. Esse último procedimento não parece prático. E se não houvessem opções?

11/01/2010 - CCDA RESOLVE

Mozarth, sua observação é totalmente lógica, minha intenção era mostrar que em Matemática quase tudo se resolve com a boa e velha regra de três. Vou mostrar a você como construir uma lei, uma equação, na verdade uma função que represente a problemática deste exercício.

Denomina-se de y o valor da arrecadação total do evento. Essa arrecadação é igual ao produto do número de participantes (inscritos) pelo valor do ingresso. Tanto o número de incritos como o valor do ingresso depende do número de vezes x que este ingresso vai aumentar. Observa-se:


Nota-se que o valor do ingresso e o número de inscritos dependem da variável  x. Quando  x  for 0 (zero) a condição inicial é respeitada. A arrecadação vai ser [6,00 + (1,50 x 0)] = 6,00 vezes [460 - (10 x 0)] = 460, então, o total arrecadado será de R$ 2.760,00. Para tornar esta função mais comum, aplica-se a propriedade distributiva.

Obtém-se, assim, uma função do 2º grau, onde y (arrecadação) depende da variável x que representa o número de vezes que o ingresso vai aumentar em R$ 1,50. O gráfico que representa uma função do 2º grau, é uma parábola e quando o parâmetro, que multiplica o termo  é negativo, sua concavidade é para baixo. Observe:

É fácil observar que a arrecadação y é maior, exatamente, no vértice da parábola. Para se calcular este valor, deve-se saber as fórmulas das coordenadas do vértice. Toda função do 2º grau é do tipo:
y = ax² + bx + c

Vê-se, então:

Para se calcular a maior arrecadação deve-se utilizar o y do vértice e para se calcular o valor do ingresso, que gera a maior arrecadação, utiliza-se o x do vértice. A pergunta é: qual o preço do ingresso que gera a maior arrecadação possível? A resposta é: o valor, onde o número de vezes que o ingresso aumenta de R$ 1,50, é o x do vértice. Veja:


Quando o valor do ingresso aumentar 21 vezes a quantia de R$ 1,50, a arrecadação será máxima. Calcula-se:

Para que a arrecadação seja máxima, o ingresso deve ser R$ 37,50.

Nota-se que o conceito de Função do 2º grau é, matematicamente, mais poderoso que a regra de três simples. Ele resolve o problema de forma direta, mas, é preciso aprendê-lo bem para saber usá-lo.

 Deixo para você, Mozarth, a seguinte pergunta: Qual é a arrecadação máxima? Existem duas maneiras de calculá-la, descubra quais são? Utilize o conceito da Função do 2º grau.

Não pense que o processo mais prático é este que você aprendeu hoje. O conceito de derivada de uma função é, ainda, mais poderoso e rápido. Mas este aprendizado fica para uma próxima vez.

Espero, tê-lo ajudado. Continue enviando suas dúvidas.

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