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Matemática - Análise Combinatória

09/11/2009 - Eliel Bomfim disse...


30. Em um estacionamento de um shopping há 5 vagas vazias. Se três carros entraram no estacionamento, um após o outro, o número de maneira que eles poderão estacionar é de:

a) 60      b) 45      c) 30      d) 20       e) 10

10/11/2009 - CCDA RESOLVE

Boa tarde, Eliel. Sou Reginaldo, Professor de Física e Matemática do CCDA, vou ajudá-lo em sua dúvida que se trata do conceito que envolve os princípios de contagem, ou análise combinatória.

O primeiro conceito de contagem se chama princípio fundamental da contagem e é utilizado sempre que os elementos que estão sendo contados podem ser repetidos na seqüência procurada.

Exemplo: Quantos números de quatro algarismos podem ser escritos com os algarismos pares? Sabe-se que os algarismos par são, 0, 2, 4, 6, 8 um total de 5 algarismos. Deseja-se combiná-los em números de 4 algarismos, tem-se:

Como pode-se repetir os algarismos em cada uma das casas das, milhares, centenas, dezenas e unidades, então, é possível colocar 5 algarismos diferentes em cada uma das casas. Para se saber o total de combinações encontradas, basta multiplicar os valores de cada uma das casas ocupadas.


 Este é o princípio fundamental da contagem.

O segundo conceito de contagem se chama arranjo simples e é utilizado quando os elementos combinados não podem ser repetidos na seqüência procurada.

Exemplo:  Quantos números de quatro algarismos diferentes podem ser escritos com os algarismos pares?


Percebe-se que é possível colocar 5 algarismos pares diferentes na casa das milhares, porém, na casa das centenas só é possível colocar 4 pois aquele que for posto na casa das milhares não pode ser repetido o mesmo acontece na casa das dezenas e das unidades, os algarismos que já ocupam casas anteriores não podem ocupar as casas precedentes. Para se saber o total de combinações encontradas, basta multiplicar os valores de cada uma das casas ocupadas.


Este é o arranjo simples.

O terceiro conceito de contagem se chama combinação simples e é utilizado quando os elementos combinados não podem ser repetidos na seqüência procurada e a ordem desses elementos produzem objetos iguais. No arranjo simples a ordem dos elementos produzem objetos diferentes.

Exemplo: Vou à feira comprar frutas, a variedade de frutas encontradas é, maçã, laranja, uva, morango e kiwi. Dessas cinco frutas levarei somente quatro tipos para minha casa. De quantas maneiras possíveis posso levá-las?

Para resolver esta tipo de problema é necessário aprender a distinguir um conceitos do outro e traduzí-los em fórmulas matemáticas.

Arranjo simples: a) não se pode repetir os elementos combinados;
                            b) a ordem dos elementos produz objetos diferentes.

Combinação Simples:  a) não se pode repetir os elementos combinados;
                                      b) a ordem dos elementos produz objetos iguais.

As fórmulas necessitam de um conceito matematico chamado fatorial que é representado pelo símbolo !. Estuda-se este conceito da seguinte forma:

De posse desse conceito, as fórmula são:


 Significam arranjo (combinação) de n elementos p a p.

No exemplo das frutas da feira analisa-se. Se forem levadas maçã, morango, uva e kiwi qual é a diferença de lelar uva, morango, kiwi e maçã. A ordem produz objetos iguais. Neste caso as mesmas frutas. Calcula-se, então:




No exemplo anterior dos números de quatro algarismos construídos com 5 algarismos; vê-se que 2468 é diferente de 4286, a ordem produz objetos diferentes, portanto arranjo simples:



Visto todos esses conceitos, agora, pode-se solucionar sua dúvida. Os carros estacionaram em vagas com posições diferentes, dessa forma quando se obtém o objeto final, carro 1 vaga amarela, carro 2 vaga azul e carro 3 vaga verde; é diferente de carro 1 vaga azul, carro 2 vaga verde e carro 3 vaga amarela. dessa forma objetos diferentes, arranjo. São cinco vagas para três carros, calcula-se:


 Pode-se guardar os três carros de 60 maneiras diferentes alternativa A.

Espero, tê-lo ajudado. Continue mandando suas dúvidas. Não esqueça ela deve vir acompanhada de seu nome, e-mail e telefone.

4 comentários:

  1. 30. Em um estacionamento de um shopping há 5 vagas vazias. Se três carros entraram no estacionamento, um após o outro, o numero de maneira que eles poderão estacionar é de:
    A. 60
    B. 45
    C. 30
    D. 20
    E. 10

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  2. 30. No time de uma escola existem 12 jogadores de futebol de salão, que jogam em todas as posições, e apenas um goleiro. Nessas condições, a quantidade de times com cinco jogadores que podem ser escalados será.
    A. 126
    B. 184
    C. 252
    D. 330
    E. 354

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  3. Goateria se possivel responder:

    NUMA FRUTEIRA EXISTEM PESSEGOS E LARANJAS E 14 BANANAS SE 2/5 DAS FRUTAS SÃO PESSEGOS E 1/4 SÃO LARANJAS. QUANTAS SÃO AS FRUTAS NESSA FRUTEIRA?

    por favor enviar para: joselima.ramos@yahoo.com.br

    muito obrigado.

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  4. Ajudou muito!!! Valeu Aê!!

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