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Matemática - Máximo Divisor Comum ( MDC )

23/10/2009 - Carlos Eduardo disse...

Queria obter a resolução de dois exercícios.

Um bloco tem suas arestas medindo 18 cm, 9 cm e 6 cm. Para dividirmos este bloco em cubos de mesmo tamanho, qual deve ser a medida MÁXIMA da aresta desse cubos?

(CGE 133) Uma indústria Têxtil fabricou 180 m de tecido de algodão, 216 m de tecido "Jeans" e 288 m de poliéster. Esses tecidos devem ser embalados em peças de mesmo tamanho e comprimento. Considerando que deva haver o MAIOR aproveitamento possível dos tecidos, então, serão embaladas:

A) 5 peças de tecido de algodão com 30 m cada uma.
B) 5 peças de tecido de "jeans" com 42 m cada uma.
C) 6 peças de tecido de "jeans com 36 m cada uma.
D) 6 peças de tecido de poliéster com 42 m cada uma.
E) 7 peças de tecido de poliéster com 36 m cada uma.

26/10/2009 - D.A. RESOLVE

Boa tarde! Carlos. Sou o Professor Reginaldo, você está lembrado de mim. Vou ajudá-lo em sua dúvida que é a respeito do conceito de Máximo Divisor Comum ( MDC ).

O primeiro problema quer que um grande bloco em forma de paralelepípedo seja dividido em pequenos cubos. Como o paralelepípedo possui as arestas ( comprimento, largura e altura ) todas de tamanhos diferentes e é preciso dividi-lo em cubos de mesmo tamanho e que possuem as arestas iguais e de maior tamanho possível, o conceito empregado é o  MDC . As indicações em vermelho mostram o conceito a ser usado. Dividi-lo = divisor, mesmo tamanho = comum e maior tamanho = máximo.

Basta, então, aplicar o conceito de  MDC que pode ser calculado de duas maneiras diferentes:

Cálculo pela decomposição em fatores primos

Passos: fatorar os números (como estão, acima); procurar os fatores primos comuns; utilizar os menores expoentes dos fatores primos.

Neste caso, o único fator primo comum a todas as fatorações é o 3; o menor expoente do fator primo 3 é 1.
Sendo assim, o MDC (18, 9, 6) é 3¹ = 3.

Desta forma, as arestas dos cubos, que dividiram o bloco inicial, terão 3 cm.

O segundo problema, também, se refere ao conceito de MDC. Tem-se que dividir partidas de tecido de diferentes tamanhos em peças de mesmo tamanho com o maior aproveitamento possível.
Resolvendo este novo problema pelo segundo método (das divisões sucessivas), tem-se:


Passos: dividir o comprimento 288 m do tecido de algodão pelo comprimento 216 m do tecido "jeans"; o 216 cabe somente uma vez dentro do 288 e sobram 72; agora é necessário dividir o 216 por 72, o 72 cabe 3 vezes dentro do 216 e sobra resto 0. Quando o resto é 0 o processo termina e o MDC entre 288 e 216 é dado por 72.
Mas, o processo de resolução deste problema pede o MDC de três valores 288, 216 e 180. Então, agora utiliza-se o resultado 72 e dá-se continuidade ao processo dividindo 180 por 72. O 72 cabe 2 vezes dentro do 180 e sobra resto 36; prossegue-se dividindo o 72 por 36 e são 2 vezes que o 36 cabe dentro do 72 sobrando resto 0. Novamente, se o resto é 0, então, MDC (288, 216, 180) = 36.

Desta forma, as peças de tecidos serão embeladas com 36 m de comprimento. Ao se dividir a partida de tecido "jeans" em peças de 36 m cada uma obtém-se um total de 6 peças.

Serão, então, 6 peças de 36 m de tecido "jeans".

Carlos, espero tê-lo ajudado a recordar o conceito de MDC. Sugiro que você resolva estes mesmos problemas, mas utilizando o método das divisões sucessivas no primeiro e o método da decomposição em fatores primos no segundo. Continue estudando, resolvendo os outros exercícios que eu lhe enviei e mande novamente qualquer dúvida que venha a ter.

2 comentários:

  1. Boa noite Professor Reginaldo.

    Estou resolvendo as questões de numeros primos, mdc e mmc. Mas gostaria que você enviasse alguns exercícios de MDC e MMC mas no formato de "problemas" tipo do Senai.

    Att.
    Carlos Eduardo
    email-kadubs@uol.com.br

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  2. Boa Tarde, liguei para o Edson e ele me ensinou a enviar as dúvidas dessa maneira, ESPERO que dessa vez esteja certa.

    Queria a resolução de dois exercícios.

    24 - Um Bloco tem suas arestas medindo 18, 9cm e 6 cm. Para dividirmos este Bloco em cubos de mesmo tamanho, qual deve ser a medida MÁXIMA da aresta desse cubos?

    29 - (CGE 133) Uma indústria Têxtil fabricou 180 m de tecido de algodão, 216 m de tecido "Jeans" e 288 m de poliéster. Esses Tecidos embalados em peças de mesmo tamanho e comprimento. Considerando que deva haver o MAIOR aproveitamento possível dos tecidos, então, serão embaladas:
    A)5 peças de tecido de algodao com 30m cada uma.
    B)5 peças de tecido de "jeans" com 42m cada uma.
    C)6 peças de tecido de "jeans com 36 m cada uma.
    D)6 peças de tecido de poliéster com 42 m cada uma.
    E)7 peças de tecido de poliéster com 36 m cada uma.

    * Queria saber também como eu sei que devo umas mmc ou mdc em um problemas. Pelo que eu lembro quando o problema cita "maximo" deve usar o mdc correto?

    Att.
    Carlos Eduardo
    email-kadubs@uol.com.br

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